Nhà toán học Daniel Litt: Khi AI thay đổi cách chúng ta làm toán và tư duy

Bài luận này cũng xuất hiện trên Proofs and Prompts.

Ba năm trước, các hệ thống AI không thể cộng hai số một cách đáng tin cậy. Một năm trước, các mô hình nội bộ tại OpenAI và DeepMind đã đạt được số điểm tương đương huy chương vàng tại kỳ thi IMO. Giờ đây, các hệ thống này đang tự giải quyết những câu hỏi mở quan trọng. Thật khó để tưởng tượng xu hướng này sẽ tiếp tục trong một năm nữa, nhưng tôi tin là nó sẽ xảy ra. Rõ ràng điều này đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ lại một cách triệt để về nghề nghiệp của mình.

Vài tuần trước, tôi đã có một bài thuyết trình với tiêu đề "Sự kết thúc của Toán học". Nếu chỉ đọc tiêu đề, bạn có thể đoán rằng bài nói chuyện này bàn về việc AI sẽ sớm "giải quyết" toán học như thế nào. Nhưng đó không phải là nội dung chính. Thay vào đó, bài thuyết trình đã phác thảo một viễn cảnh ảm đạm về tương lai, nơi mà bất chấp khả năng tồn tại của các hệ thống AI vượt trội hơn hẳn con người về toán học, cách thiết kế các thể chế của chúng ta lại khiến sự hiểu biết của con người về toán học, và có thể là cả sự tiến bộ toán học nói chung, bị đình trệ. Tôi nghĩ chúng ta sẽ tránh được tương lai này, nhưng tôi cũng cho rằng đó là kịch bản mặc định nếu toán học hàn lâm không thích nghi. Mặc dù tôi khá hào hứng với việc sử dụng AI để làm toán, tôi vẫn chia sẻ quan điểm này với nhiều người phản đối nó.

Thay vào đó, ở đây tôi muốn phác thảo một viễn cảnh tích cực về tương lai của toán học và thực hành toán học của con người. Tôi khẳng định rằng chúng ta có thể làm sâu sắc thêm sự hiểu biết của con người ngay cả khi việc tạo ra các kết quả toán học thú vị trở nên ít phụ thuộc vào nó hơn.

Bài luận này sẽ lấy tiền đề rằng các hệ thống AI vượt trội hơn con người ở hầu hết hoặc tất cả các khía cạnh của toán học sẽ sớm xuất hiện. Tuy nhiên, những thay đổi cụ thể đối với các thể chế mà tôi đề xuất chỉ đòi hỏi việc chấp nhận một tiền đề yếu hơn: đó là việc tạo ra các văn bản toán học đang ngày càng trở nên tách rời khỏi sự hiểu biết toán học.

Chúng ta thực sự đang cố gắng làm gì ở đây?

Tôi nghĩ giờ đây đã rõ ràng rằng không có sự đồng thuận trong cộng đồng toán học về mục tiêu của chúng ta là gì. Một số người muốn giải quyết các bài toán; một số coi toán học là trò chơi hoặc thơ ca. Với một số người: “Wir müssen wissen – wir werden wissen.” (Chúng ta phải biết – chúng ta sẽ biết). Một số người nghĩ rằng chúng ta đang khám phá những bí ẩn của thế giới Platonic. Một số khác lại nghĩ mục tiêu là thể hiện tình yêu và sự hiểu biết về toán học, và truyền tải tình yêu cũng như sự hiểu biết đó cho thế hệ sau.

Câu trả lời cá nhân của tôi, dù có phần tự tham chiếu, là:

Chúng ta đang cố gắng tạo ra và thấu hiểu toán học chất lượng cao.

Chúng ta đang cố gắng đào tạo ra những nhà toán học chất lượng cao.

Những mục tiêu này nên được hiểu theo nghĩa rộng. Thế nào là toán học chất lượng cao đã thay đổi khá đáng kể theo thời gian; chúng ta đi đến định nghĩa của nó với tư cách là một cộng đồng. Chúng ta không chỉ đào tạo nghiên cứu sinh tiến sĩ để làm nghiên cứu toán học. Một phần quan trọng trong công việc của chúng ta, mặc dù có lẽ chưa được nhấn mạnh đúng mức, là giáo dục công chúng về toán học chất lượng cao và tư duy toán học.

Dù mục tiêu của chúng ta là gì, chúng ta đã vận hành chúng chủ yếu thông qua việc chứng minh các định lý. Hầu như tất cả các bài báo hoặc luận án tiến sĩ đều có một định lý chính và bề ngoài là một chứng minh cho nó. Nhưng cần phải rõ ràng rằng mục tiêu của toán học không phải là chứng minh các định lý; nếu đúng như vậy, việc tự động hóa nó sẽ rất tầm thường. Một chiếc máy tính hoặc một con khỉ có thể dễ dàng bắt đầu từ các tiên đề của ZFC và áp dụng lặp đi lặp lại các quy tắc suy diễn mà không cần quan tâm đến ý nghĩa của chúng. Việc chứng minh định lý có ý nghĩa đặc biệt khi nó giải quyết được một bài toán mở, nhất là những bài toán đã chống lại những nỗ lực đáng kể. Một lần nữa, điều này rất dễ tự động hóa; máy tính hoặc con khỉ của chúng ta có thể chỉ cần đưa ra phỏng đoán cho tất cả các mệnh đề toán học theo thứ tự bảng chữ cái.

Thái độ chung của cộng đồng chúng ta đối với một công nghệ có khả năng chứng minh các định lý và giải quyết các bài toán mở cho thấy rằng những cách vận hành các giá trị này của chúng ta, nếu không muốn nói là chưa đầy đủ, thì cũng chỉ là một phần.

Triển vọng tự động hóa toán học bằng cách liệt kê tất cả các phỏng đoán và tất cả các chứng minh của ZFC có lẽ không quá đáng lo ngại đối với bạn. Nhưng hãy giả định trong giây lát rằng chiếc máy tính hoặc con khỉ đó rất thông minh; có lẽ nó hiểu được các kết quả mà nó đang chứng minh và viết ra những bài giải thích tuyệt vời về chúng. Có lẽ nó có cảm nhận tốt về những gì chúng ta thấy thú vị và chủ yếu tập trung vào những câu hỏi đó. Có lẽ trong quá trình liệt kê các định lý của ZFC, nó đã trả lời được nhiều câu hỏi mở cấp bách nhất của chúng ta và đang đặt ra nhiều câu hỏi mở cơ bản hơn nữa. Liệu lúc đó còn cần đến các nhà toán học con người không?

Tôi nghĩ là có. Cỗ máy này có thể tạo ra những câu trả lời mà chúng ta coi trọng, nhưng tự thân nó sẽ không tạo ra sự hiểu biết của con người về những câu trả lời đó. Thực tế, tôi nghĩ chúng ta đang ở buổi bình minh của một sự bùng nổ toán học đáng kinh ngạc và tuyệt vời, và nếu chúng ta coi trọng sự hiểu biết của con người, thì nhu cầu về các nhà toán học con người sẽ lớn hơn bao giờ hết. Nhưng nghề nghiệp này sẽ phải thay đổi.

Trong quá trình thay đổi này, chúng ta sẽ phải quyết định điều gì cần giữ lại và điều gì cần loại bỏ. Một số điều tôi muốn bảo tồn: các buổi hội thảo học tập; những cuộc trò chuyện tình cờ khơi dậy ý tưởng; sinh viên gõ cửa văn phòng giáo sư để trò chuyện về toán học. Một cộng đồng vững mạnh cùng nhau học hỏi những kiến thức toán học mới thú vị. Hàng ngàn người cùng nhau, từng chút một, bắt đầu giải tỏa sự bối rối của chính họ.

Tôi lo ngại rằng phần lớn những gì đã được viết về chủ đề này, bao gồm cả một số bài viết trước đây của chính tôi, tập trung quá nhiều vào việc cố gắng bảo tồn hình thái chính xác của các thể chế toán học hàn lâm, thay vì các giá trị của chúng ta. Làm thế nào chúng ta có thể bảo tồn hệ thống tạp chí và bình duyệt? Làm thế nào chúng ta có thể bảo vệ arXiv? Làm thế nào chúng ta có thể giữ vai trò là người gác cổng? Nếu bạn đã thấm nhuần thực tế rằng các hệ thống AI hiện tại có thể tạo ra các kết quả chất lượng tương đối cao với chi phí biên chỉ vài đô la, thì ý tưởng cho rằng bất kỳ hình thái nào của trạng thái cân bằng hiện tại có thể tồn tại sau những gì sắp tới là điều vô lý.

Khi cố gắng tìm kiếm một trạng thái cân bằng mới, chúng ta có thể cố gắng đuổi theo giới hạn năng lực của các mô hình. Hiện tại, các hệ thống AI có thể nói là kém hơn chúng ta ở khả năng xây dựng lý thuyết, đặt câu hỏi, diễn giải… vì vậy chúng ta có thể ưu tiên và khen thưởng những kỹ năng đó. Tôi nghĩ điều này không khôn ngoan: hãy so sánh tốc độ thích nghi của giới học thuật với tốc độ cải thiện năng lực của các mô hình. Chúng ta cần xem xét kết cục cuối cùng. Nếu các mô hình vẫn không có khả năng trong một lĩnh vực nào đó, chúng ta có thể điều chỉnh sau.

Trước khi đề xuất một vài bước cụ thể mà chúng ta có thể thực hiện, hãy để tôi nhận xét về việc chúng ta đang cố gắng bảo vệ toán học khỏi điều gì. Có rất nhiều sự tức giận nhắm vào các phòng thí nghiệm AI và một số cá nhân tại các phòng thí nghiệm đó. Nhưng dù đánh giá của chúng ta về các phòng thí nghiệm này thế nào, chúng ta cần một kế hoạch không phụ thuộc vào việc năng lực AI biến mất. Vấn đề cơ bản không phải là hành vi của các phòng thí nghiệm, dù có đạo đức hay không. Đó chính là bản thân công nghệ. Tôi nghĩ có một niềm tin rằng các phòng thí nghiệm sẽ "chuyển hướng" khỏi toán học vào năm tới, bị quốc hữu hóa hoặc giải thể, hoặc một bong bóng tài chính sẽ vỡ, bằng cách nào đó đưa mọi thứ trở lại bình thường, hoặc… Nhưng không có cách nào để các thể chế của chúng ta tồn tại mà không thay đổi khi bất kỳ ai có máy tính xách tay và vài trăm đô la đều có thể tạo ra thứ mà năm ngoái đã có thể là một bài báo trên Annals. AI không quan tâm liệu bạn có chống lại AI hay không.

Đào tạo các nhà toán học chất lượng cao

Câu hỏi cấp bách nhất mà nghề nghiệp của chúng ta cần trả lời ngay bây giờ là: sinh viên của chúng ta nên làm gì? Hiện nay, việc tạo ra một luận án tiến sĩ mà chính người viết cũng chưa từng đọc là điều khả thi; xét về khía cạnh chứng minh sự hiểu biết, văn bản toán học chỉ đáng giá bằng tờ giấy in ra nó. Giá trị của văn bản không còn truyền tải tín hiệu đáng tin cậy về người đã tạo ra nó nữa.

Theo quan điểm của tôi, chúng ta nên hoan nghênh các kết quả toán học thú vị bất kể nguồn gốc của chúng. Nhưng các thể chế của chúng ta từ trước đến nay đã dựa vào cùng một tín hiệu để chỉ ra cả sự tiến bộ toán học lẫn chuyên môn toán học. Giờ đây, những điều này phải được phân biệt rõ ràng.

Tôi đề xuất việc tái định nghĩa mục tiêu của bằng Tiến sĩ Toán học như sau: trở thành chuyên gia thế giới về một chủ đề sâu sắc, thú vị nào đó và có khả năng truyền đạt sự quan tâm và hiểu biết đó cho người khác. Một phần của việc vận hành điều này có thể là một luận án, nhưng bằng cấp sẽ được trao chủ yếu dựa trên một buổi bảo vệ nghiêm ngặt, trong đó sinh viên giải thích chủ đề cho hội đồng giám khảo cho đến khi họ hài lòng. Mặc dù chúng ta có thể yêu cầu chủ đề phải là nguyên bản, nhưng nguồn gốc của nó—AI hay không—là không liên quan.

Điều này sẽ khác biệt thế nào so với các chương trình tiến sĩ hiện tại? Tôi nghĩ sinh viên vẫn sẽ gặp gỡ người hướng dẫn, người có thể gợi ý một chủ đề. Chủ đề đó có thể được khám phá với sự hỗ trợ của AI hoặc không, nhưng sinh viên sẽ chịu trách nhiệm hiểu nó; nó có thể cởi mở và rộng lớn hơn nhiều so với một luận án tiến sĩ thông thường hiện nay. Sinh viên sẽ được đào tạo để đặt ra những câu hỏi thú vị và cố gắng giải quyết chúng bằng mọi phương tiện. Để giữ cho sinh viên đi đúng hướng, có thể có các cuộc họp định kỳ, trong đó sinh viên được yêu cầu tự mình giải quyết một ví dụ lạ, áp dụng một kỹ thuật trong một trường hợp mới, v.v.

Các khía cạnh phân bổ công việc của chúng ta (tuyển dụng, tuyển sinh sau đại học, v.v.) đang rất cần cải cách nếu chúng ta muốn giữ chân chuyên môn toán học của con người. Nói rộng ra, tôi nghĩ chúng ta nên tập trung vào việc khen thưởng kỹ năng trong những phần công việc không thể tự động hóa: các phần nội tại (ví dụ: hiểu toán học) và các phần liên quan đến xã hội, và các cách vận hành bám sát nhất có thể vào những khía cạnh đó của nghề nghiệp. Ví dụ, các bài thuyết trình và thảo luận toán học bền bỉ hiện nay thể hiện sự hiểu biết tốt hơn nhiều so với các bài báo. Một khi các hệ thống AI cải thiện khả năng diễn giải và "tiêu hóa" kiến thức, điều này sẽ càng đúng hơn. Chúng ta đã phỏng vấn giảng viên mới; giờ đây chúng ta phải làm điều tương tự đối với tuyển sinh sau đại học.

Tôi nghĩ chúng ta nên cố gắng thúc đẩy văn hóa hội thảo vững mạnh, trong đó người thuyết trình được kỳ vọng sẽ giải thích chủ đề của họ đến mức làm hài lòng khán giả. Gần đây đã có nhiều bài viết (trong đó có bài của chính tôi) về việc chúng ta chủ yếu quan tâm đến sự hiểu biết, chứ không chỉ là giá trị chân lý của các mệnh đề toán học. Nếu đúng như vậy, hãy đảm bảo rằng chúng ta thực sự hiểu nhau.

Hiện tại, việc sử dụng các hệ thống AI để làm toán trên một ngưỡng tối thiểu nào đó dựa vào thực tế là cộng đồng của chúng ta đã tạo ra nhiều phỏng đoán mở, mà sự thú vị của chúng được chứng minh bằng sự tồn tại của các nhà toán học con người quan tâm đến chúng. Tầm quan trọng gần đây của thực tế này cho thấy với tôi rằng cộng đồng của chúng ta đóng một chức năng rất quan trọng mà chúng ta, có thể nói, đã đánh giá thấp: đó là tìm ra cái gì là thú vị. Tôi không hoàn toàn rõ ràng về cách vận hành điều này, nhưng một khả năng có thể là khen thưởng việc xây dựng các chương trình nghiên cứu (có hoặc không có sự trợ giúp từ các hệ thống AI) thuyết phục được người khác về giá trị của chúng.

Để rõ ràng, tôi không nói rằng các hệ thống AI sẽ không thể đặt ra những câu hỏi thú vị, đưa ra những phỏng đoán thú vị, theo đuổi những chương trình thú vị, v.v. Tôi nghĩ rất có thể chúng sẽ làm được, dẫn đến việc tạo ra vô số tệp PDF. Nội dung của một số tệp PDF đó thậm chí có thể có những ứng dụng quan trọng. Nhưng những tệp khác sẽ chủ yếu chỉ thú vị vì chúng cho chúng ta biết điều gì đó cơ bản về các đối tượng toán học cơ bản và chỉ tích lũy giá trị nếu chúng ta có thể và thực sự tương tác với chúng. Có vẻ như việc xây dựng một cộng đồng các nhà nghiên cứu để làm điều đó sẽ phụ thuộc vào chúng ta, và chúng ta nên khen thưởng những nhà toán học làm được điều đó. Và ngay cả khi AI đang đặt ra những câu hỏi xuất sắc, không có lý do gì để nghĩ rằng nó sẽ đặt ra những câu hỏi giống như chúng ta.

Tất cả những thay đổi này đều hướng tới việc tăng cường mức độ chúng ta nói chuyện với nhau về toán học. Đối với tôi, điều này sẽ là tích cực ngay cả trong một thế giới không có AI.

Tôi nghĩ trong thế giới này vẫn có chỗ cho cả những nhà toán học nhiệt tình với AI như tôi, và cả những người không sử dụng nó. Nhưng khi các mô hình bắt đầu tạo ra một lượng lớn toán học, sẽ không thể tránh khỏi hoàn toàn các kết quả đầu ra của chúng.

Tạo ra toán học chất lượng cao

Khi suy nghĩ về cách định hình lại nghề nghiệp của mình, điều quan trọng cần hiểu là, dù muốn hay không, không thể ngăn cản mọi người, dù là nghiệp dư hay chuyên nghiệp, nhấn một nút để tạo ra toán học. Ý tưởng rằng chúng ta sẽ thuyết phục mọi người không chơi đùa với toán học, hoặc rằng chúng ta sẽ có thể "dành riêng" các bài toán cho sinh viên cao học, là không thực tế. Và chúng ta cũng không nên muốn làm điều đó!

Hiện nay có nhiều sự quan tâm đến toán học hơn bất kỳ thời điểm nào khác trong lịch sử. Chúng ta nên vui mừng vì lợi ích của toán học, ngay cả khi chúng ta lo lắng về các nhà toán học và chuyên môn toán học. Và nhìn chung, giá trị của việc nhấn nút này đến từ cộng đồng toán học. Nếu một phỏng đoán rơi trong rừng mà không có ai ở đó để nghe, thì ai quan tâm chứ? Để sự phong phú của toán học mới có giá trị ngoài ứng dụng, chúng ta sẽ cần một sự phong phú của các nhà toán học mới. Và đối với các kết quả có ứng dụng, chúng ta sẽ muốn mọi người có khả năng hiểu được các giả định và hệ quả của chúng.

Tôi đã viết ở trên rằng việc giải quyết các bài toán và các phỏng đoán mở là một sự vận hành chưa đầy đủ các giá trị của chúng ta. Nhưng dù sao thì việc giải quyết các bài toán và phỏng đoán vẫn rất quan trọng! Nguồn gốc của những giải pháp đó chỉ quan trọng khi nó giao thoa với cấu trúc hiện có của nghề nghiệp (động lực, uy tín, v.v.). Rõ ràng là cấu trúc đó cần phải thay đổi trong mọi trường hợp.

Toán học từng là môn khoa học rẻ nhất. Tôi nghĩ thay đổi lớn nhất mà chúng ta đang phải đối mặt là giờ đây, một phần các câu hỏi của chúng ta sẽ có thể trả lời được thông qua việc bơm tiền. Tôi biết một số đồng nghiệp của tôi thấy điều này thật đáng buồn. Trước đây, những câu hỏi đó có thể đã tập hợp một cộng đồng nghiên cứu, dẫn đến những phát triển phụ thú vị, v.v. Sự tiến bộ ngẫu nhiên này giờ đây có thể không còn xảy ra nữa.

Nhưng bạn không tin vào toán học sao!? Sẽ luôn có nhiều điều để học hỏi hơn. Nếu một câu hỏi cơ bản có thể được giải quyết với chi phí của một bữa tối ngon miệng, chúng ta nên vui mừng. Nhưng đó chỉ là sự khởi đầu. Chúng ta sẽ hỏi câu trả lời đó giải thích điều gì và nó giúp chúng ta hiểu điều gì. Nó sẽ dẫn đến nhiều câu hỏi mới hơn, một số trong đó có thể được giải quyết với chi phí của một bữa tối ngon miệng, và những câu hỏi khác làm mới sự bối rối của chúng ta và dẫn đến sự phát triển của một cộng đồng nghiên cứu.

Những người trợ giúp cần mẫn mới của chúng ta sẽ tạo ra một lượng toán học đáng kinh ngạc, theo đuổi sở thích của chúng ta hoặc có lẽ là của chính họ. Chúng ta sẽ có những câu hỏi và sự bối rối của riêng mình; đôi khi chúng sẽ được giải quyết bởi các mô hình, và đôi khi thì không. Đôi khi các câu trả lời sẽ phức tạp, và chúng ta sẽ dành một buổi hội thảo học tập cho chúng. Đôi khi sự tiến bộ sẽ rất nhỏ, nhưng bản thân câu hỏi đó sẽ rất thúc đẩy, tạo ra một cộng đồng nghiên cứu.

Một sinh viên sẽ bối rối. Họ sẽ gõ cửa văn phòng giáo sư. Có lẽ cả hai sẽ yêu cầu một mô hình giúp đỡ, hoặc có lẽ không, nhưng trước tiên họ có thể dành chút thời gian bên bảng đen để suy nghĩ về câu hỏi đó. Và mô hình có thể đưa ra cho họ một lời giải thích tuyệt vời, nhưng tất cả chúng ta đều biết điều đó là chưa đủ; không ai có thể hiểu toán học thay cho chúng ta. Chúng ta phải tự mình làm công việc đó.

Còn rất nhiều điều để học hỏi—một lượng vô hạn. Chúng ta luôn ở điểm bắt đầu, và chúng ta sẽ luôn như vậy.