Góc nhìn triết học về tương lai toán học sau khi OpenAI giải quyết bài toán Navier-Stokes

[Đây là bài viết của khách mời Silvia De Toffoli và Eamon Duede. Bài blog này ban đầu được viết ở định dạng tệp khác và được chuyển đổi bằng AI. — T.]

Silvia De Toffoli (Trường Nghiên cứu Cao cấp IUSS Pavia) và Eamon Duede (Đại học Princeton và Đại học Purdue)

Vào ngày 8 tháng 9 năm 2026, OpenAI thông báo rằng họ đã tạo ra một giải pháp do AI tạo ra cho bài toán tồn tại và tính trơn của phương trình Navier–Stokes, một trong bảy Bài toán Thiên niên kỷ (Millennium Prize Problems). Thông báo này đã khơi mào cho cuộc tranh luận về việc phân bổ công lao và những đóng góp tương ứng của con người và máy móc đối với kết quả này. Hơn nữa, thông báo còn làm trầm trọng thêm những so sánh vốn đã tồn tại với các cột mốc chinh phục trước đó của AI trong những lĩnh vực vốn được coi là minh chứng cho trí tuệ con người. Trong một tuyên bố gần đây, Tristan Buckmaster, một trong những nhà toán học tham gia vào "sự kiện" Navier–Stokes, đã viết: “Đây là khoảnh khắc Deep Blue–Kasparov.”

Những câu hỏi mang tính hiện sinh đối với toán học nảy sinh một cách tự nhiên: nếu AI hiện có thể đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi ở biên giới của toán học, liệu ngành này có đang đứng trước nguy cơ bị “giải mã” như nhiều người từng nói về cờ vua và cờ vây? Giống như những người chơi cờ vua và cờ vây, liệu các nhà toán học có nên “tiếp tục chơi” và sắp xếp lại các hoạt động của mình?

Có một điều gì đó đúng đắn trong phản ứng “tiếp tục chơi”. Như triết gia C. Thi Nguyen (2019) đã khẳng định, mục đích của việc chơi một trò chơi không chỉ dừng lại ở mục tiêu (chiến thắng). Điểm mấu chốt thực sự không chỉ nằm ở kết quả mà còn ở quá trình. Điều này có lẽ rõ ràng hơn với một trò chơi tiệc tùng như Twister so với cờ vua: mục tiêu của việc chơi Twister chắc chắn không phải là chiến thắng. Nhưng điều tương tự cũng áp dụng cho các trò chơi trí tuệ sâu sắc như cờ vua và cờ vây. Ví dụ, chơi một ván cờ vây giỏi có thể là một thành tựu ngay cả khi thất bại.

Nhưng trong bối cảnh thực hành toán học, điều này có vẻ như là một sự rút lui không cần thiết. Thay vào đó, chúng ta có thể thực hiện một bước đi mạnh mẽ hơn: bác bỏ việc mô tả toán học như một trò chơi – điều vốn khiến sự rút lui trở nên cần thiết ngay từ đầu.

Do đó, câu hỏi không đơn giản là điều gì sẽ xảy ra sau toán học khi AI có thể trả lời những câu hỏi khó nhất của nó. Mà còn là chúng ta đang theo đuổi điều gì khi thực hiện toán học ngay từ đầu.

Câu chuyện cho rằng AI đã “giải mã” toán học dựa trên hai giả định, cả hai đều hấp dẫn và hợp lý, nhưng cả hai đều sai:

Giả định đầu tiên sai vì để thực sự giải được một bài toán toán học, việc chỉ đưa ra một câu trả lời (ngay cả khi được chứng nhận chính thức) là chưa đủ. Điều còn thiếu là một chứng minh dễ hiểu mà các nhà toán học có thể nắm bắt và sử dụng để thúc đẩy các mục tiêu của toán học. Và, như chúng tôi sẽ lập luận dưới đây, ngay cả khi AI cung cấp cho chúng ta điều đó, câu chuyện vẫn chưa kết thúc vì giả định thứ hai cũng sai. Toán học rõ ràng là một lĩnh vực rộng lớn hơn nhiều so với việc chỉ giải quyết vấn đề. Các nhà toán học nỗ lực phát triển các khái niệm và lý thuyết mới, đặt ra và trả lời các câu hỏi mới, hợp nhất các lĩnh vực khác biệt, giáo dục và duy trì các cộng đồng học thuật, cũng như tạo ra các tác phẩm được đánh giá cao vì vẻ đẹp và chiều sâu của chúng.

Do đó, chúng ta có thể (và nên) bác bỏ câu chuyện AI đánh bại con người trong toán học và bắt đầu suy nghĩ nghiêm túc về việc toán học thực sự là gì và chúng ta muốn nó trở thành như thế nào.

Không phải mọi câu trả lời đều là giải pháp

OpenAI đã đưa ra câu trả lời cho câu hỏi liệu phương trình Navier–Stokes có thể phát triển một điểm kỳ dị hay không: có. Trong tác phẩm *The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy*, siêu máy tính Deep Thought đã đưa ra câu trả lời cho câu hỏi về cuộc sống, vũ trụ và mọi thứ: 42. Cả hai đều không hoàn toàn là những gì chúng ta mong đợi.

Tất nhiên, OpenAI đã cung cấp cho chúng ta nhiều hơn là một chữ “có”. Deep Thought chỉ đưa ra một con số, trong khi OpenAI tạo ra hai hiện vật mà nhiều người sẵn sàng gọi là các chứng minh. Thứ nhất là một bản hình thức hóa Lean (Lean formalization) chứng nhận tính hợp lệ. Điều này đi kèm với một bản thảo dường như chứa đựng chứng minh không hình thức tương ứng. Vậy tại sao điều này vẫn gây thất vọng? Lý do nằm ở chính khái niệm cơ bản về chứng minh.

Trên thực tế, có hai khái niệm về chứng minh: khái niệm logic và khái niệm dễ hiểu (intelligible).

Logic hiện đại đặc trưng hóa chứng minh dựa trên tính hợp lệ của suy diễn, sao cho một chứng minh có thể được kiểm tra bằng một quy trình máy móc mà bản thân nó không đòi hỏi sự hiểu biết về lập luận toán học. Một bản hình thức hóa Lean đáp ứng chính xác các tiêu chuẩn này và do đó, bản hình thức hóa kết quả Navier–Stokes của Lean là một đóng góp quan trọng và chân thực: bằng cách đáp ứng các yêu cầu của khái niệm chứng minh logic, nó đảm bảo sự chắc chắn.

Nhưng các nhà toán học còn muốn nhiều hơn thế từ chứng minh. Họ muốn sự thấu hiểu (Thurston 1994). Họ muốn biết điều gì làm cho một mệnh đề trở nên đúng đắn. Loại kiến thức này trao đổi dựa trên các ý tưởng toán học mà họ có thể nắm bắt, truyền đạt cho các chuyên gia khác, kết nối với kiến thức hiện có và sử dụng để tạo ra tiến bộ hơn nữa. Đây chính là khái niệm chứng minh dễ hiểu. Cho đến nay, chưa rõ liệu kết quả của OpenAI có mang lại cho cộng đồng toán học loại giá trị mà người ta mong đợi từ khái niệm chứng minh dễ hiểu hay không.

Các chứng minh chân thực đồng thời là các chứng minh logic và dễ hiểu. Trong lịch sử, hai khái niệm này thường đi đôi với nhau. Điều này là do không nhà toán học nào có thể tạo ra một chứng minh logic cực kỳ phức tạp mà không nắm bắt trước một số ý tưởng then chốt có thể chia sẻ được, vốn làm cho định lý đó trở nên đúng đắn. Khái niệm chứng minh logic chủ yếu được sử dụng để xác minh tính đúng đắn của các chứng minh dễ hiểu (Burgess và De Toffoli 2022).

Nhưng với AI, hai khái niệm này giờ đây có thể tách rời một cách đáng kể. Chúng ta có thể kết thúc với các chứng minh hình thức tách biệt hoàn toàn khỏi bất kỳ chứng minh dễ hiểu nào.

Đây không phải là lời chỉ trích đối với chứng minh hình thức. Vấn đề ngược lại cũng nghiêm trọng không kém. Một lập luận toán học dễ hiểu có thể truyền tải một ý tưởng lớn lao trong khi lại thất bại trong việc xác lập rằng kết quả đó thực sự đúng. Jaffe và Quinn (1993) đã nổi tiếng khi sử dụng định lý hình học hóa của Thurston cho các đa tạp 3 chiều Haken làm ví dụ: một hiểu biết sâu sắc đi kèm với các chứng minh không đủ hoàn chỉnh có thể trở thành một “vật cản thay vì nguồn cảm hứng”. Và một động lực cho dự án hình thức hóa Flyspeck của Hales là để xác minh rằng chứng minh dễ hiểu (nhưng khó kiểm tra) được trình bày cho giả thuyết Kepler thực sự là một chứng minh chân thực (Hales và cộng sự 2009).

Do đó, việc thiếu hụt một trong hai khái niệm logic hoặc dễ hiểu đều tạo ra những vật cản, trong khi các chứng minh chân thực sẽ mở đường cho tiến bộ toán học. Một giải pháp toán học thực sự đòi hỏi cả tính đúng đắn về logic và sự dễ hiểu.

Điều này đặc biệt rõ ràng trong trường hợp của bảy Bài toán Thiên niên kỷ. Chúng không được chọn chỉ vì các nhà toán học muốn có bảy câu trả lời, mà vì họ muốn những giải pháp hiệu quả. Bản thân Viện Toán học Clay giải thích lý do tại sao chứng minh lại quan trọng trong trường hợp của Navier–Stokes: “Bởi vì một chứng minh không chỉ mang lại sự chắc chắn, mà còn mang lại sự thấu hiểu.”

Những gì OpenAI mang lại cho chúng ta là một câu trả lời. Nhưng chưa rõ liệu họ đã đưa ra một giải pháp hiệu quả hay chưa. Có lẽ, chúng ta sẽ thấy rằng họ đã làm được, nhưng vào lúc này, tình hình vẫn còn xa mới rõ ràng. Một giải pháp chân thực sẽ cung cấp cơ sở đầy đủ để tin vào kết quả, đồng thời cung cấp một lập luận toán học dễ hiểu cho phép kết quả đó trở thành một phần của toán học như cách các nhà toán học hiểu và thực hành.

Tuy nhiên, nếu hóa ra những gì OpenAI cung cấp chỉ là một câu trả lời đơn thuần, thì điều đó vẫn chưa đủ để xua tan mối đe dọa hiện sinh mà toán học đang phải đối mặt. Các hệ thống AI trong tương lai có khả năng tạo ra các chứng minh chân thực, vừa được chứng nhận hình thức vừa hoàn toàn dễ hiểu đối với các nhà toán học. Vì vậy, những lo ngại hiện nay rằng toán học đang đứng trước nguy cơ bị AI “giải mã” không hoàn toàn bị xua tan chỉ bằng cách khăng khăng đòi hỏi các giải pháp chân thực thay vì các câu trả lời đơn thuần.

Bạn cần nhiều hơn là các giải pháp để “giải mã toán học”

Nếu các hệ thống AI trong tương lai tạo ra các chứng minh chân thực, đúng đắn về logic và dễ hiểu, giống như những chứng minh do các nhà toán học “bậc thầy” tạo ra, thì vẫn sẽ là sai lầm nếu nghĩ rằng toán học đã bị “giải mã” như cách một số người nói về cờ vua hay cờ vây.

Trong cờ vua và cờ vây, chúng ta chấp nhận sự cạnh tranh chênh lệch hoàn toàn giữa con người và máy móc vì cả hai, theo nghĩa liên quan, đều đang chơi cùng một trò chơi.

Nhưng toán học không phải (hoặc ít nhất không chỉ) là một trò chơi. Trước hết, không có người chiến thắng. Toán học không phải là một trò chơi đối kháng với các điều kiện xác định để giành chiến thắng. Chắc chắn đúng là các nhà toán học cạnh tranh với nhau vì danh tiếng, giải thưởng, công việc và sự công nhận. Những người chơi cờ vua cũng làm những điều đó. Nhưng những người chơi cờ vua còn giành chiến thắng trong cờ vua. Không có điều kiện tương ứng nào để giành chiến thắng trong toán học. Không có chiếu tướng trong toán học.

Trong toán học, việc coi AI là một trợ lý thay vì một đối thủ sẽ tự nhiên hơn. Như Jeremy Avigad (2026) đã nói: “Chúng ta nên nhớ rằng AI không hơn gì công nghệ, được thiết kế để phục vụ mục đích của chúng ta. Thật sai lầm khi nghĩ rằng các nhà toán học đang cạnh tranh với AI; khi chúng ta lái xe, chúng ta không cạnh tranh xem ai có thể đi nhanh hơn, và khi chúng ta sử dụng điện thoại, chúng ta không cạnh tranh xem ai có thể nói to hơn.”

Nhưng có một vấn đề sâu xa hơn, và theo nhiều cách là vấn đề ưu tiên, với khung tư duy cạnh tranh. Nó đòi hỏi phải chấp nhận giả định rằng giải quyết vấn đề là hoạt động dùng để đo lường thành công trong toán học.

Giải quyết vấn đề chân thực chắc chắn là một trong những mục tiêu chính của toán học. Tuy nhiên, đó không phải là mục tiêu duy nhất. Toán học là một kho tàng kiến thức được tương tác, diễn giải và tiêu hóa bởi một cộng đồng học thuật chứ không phải là một danh mục các kết quả trừu tượng. Điểm đơn giản này thậm chí đã thúc đẩy cả một phong trào trong triết học toán học: triết học về thực hành toán học.

Terence Tao (2026) liệt kê nhiều mục tiêu của toán học ngoài việc giải quyết vấn đề. Những mục tiêu này bao gồm phát triển các lý thuyết và kỹ thuật mới, hiểu thế giới, duy trì cộng đồng, đào tạo thế hệ nhà toán học tiếp theo, đóng góp vào kiến thức tích lũy và tạo ra các tác phẩm có giá trị thẩm mỹ. Tất nhiên, những điều này có mối tương quan tích cực với các giải pháp chân thực.

Nhưng AI phá vỡ mối tương quan đó, vì cùng lý do nó tách biệt hai khái niệm về chứng minh. Vì vậy, ngay cả những giải pháp chân thực cũng sẽ không làm chúng ta thỏa mãn.

Đây không phải là việc thay đổi mục tiêu mà là nhận ra rằng bất kỳ mục tiêu cụ thể nào cũng không đầy đủ. Nếu toán học là một trò chơi, thì đó là một trò chơi vô tận.

Thái độ này không phải là phản động. Chúng tôi bác bỏ cả việc nhượng bộ rằng việc thiết lập một định lý về mặt logic là đủ cho một chứng minh chân thực, và việc giảm thiểu “AI cho toán học” thành việc chứng minh các định lý. Chấp nhận điều này, chúng ta có thể tìm thấy nhiều cơ hội cho AI trong toán học để hỗ trợ sự phát triển toán học của con người.

Hậu quả

Chúng tôi không phủ nhận rằng, nếu thông báo của OpenAI là chính xác, thì đây là một thành tựu phi thường. Nhưng chúng ta nên làm rõ đó là loại thành tựu nào. Vào thời điểm này, đó là một câu trả lời, không phải là một giải pháp. Và, ngay cả khi theo thời gian, kết quả đó bộc lộ là một giải pháp chân thực, chúng tôi đã lập luận rằng, trong thực hành toán học, các giải pháp không phải là tất cả.

Sự cấp thiết của việc suy nghĩ lại về những gì chúng ta coi trọng trong toán học đã được cộng đồng toán học công nhận. Trong một tuyên bố gần đây ban đầu được ký bởi 25 người đoạt giải Fields, các nhà toán học cảnh báo về một “sự lệch lạc nghiêm trọng” giữa mục tiêu của các công ty AI và mục tiêu của cộng đồng toán học.

Các nhà toán học cần làm nhiều hơn để xem xét các chuẩn mực của mình. Chuẩn mực về sự ưu tiên không phải là vấn đề ở đây (mặc dù đó có thể là một vấn đề riêng biệt). Sự thất bại hiện nay trong việc phân biệt các giải pháp chân thực với các câu trả lời, và sự tập trung ngày càng tăng vào việc chỉ giải quyết vấn đề, mới chính là vấn đề. Cách suy nghĩ này được truyền cảm hứng từ nền kinh tế công lao (credit economy) hiện tại trong toán học và, như David Bessis đã thảo luận gần đây trên blog của mình, nền kinh tế công lao cần được suy nghĩ lại.

AI không mang đến cho toán học một kết thúc mà là một sự lựa chọn về việc thực hành toán học nên trở thành như thế nào. Nếu thành công trong toán học bị đồng nhất quá chặt chẽ với việc tạo ra các câu trả lời được chứng nhận, toán học có nguy cơ tự thích nghi với chính những đặc điểm dễ dàng được đo lường và tự động hóa nhất.

Thay vào đó, nếu các nhà toán học coi AI là một công nghệ để thúc đẩy các mục đích lâu dài và mang tính nhân văn cốt lõi của mình, công nghệ này có thể góp phần vào sự phát triển và làm phong phú thêm cho ngành này. Do đó, câu hỏi quan trọng không phải là liệu AI có đánh bại các nhà toán học hay không, mà là chúng ta muốn AI phục vụ những mục đích toán học nào.