Khi AI chinh phục những bài toán huyền thoại của Erdős

Những thành tựu toán học vĩ đại nhất của AI bắt nguồn từ lời giải cho các bài toán do một nhân vật phá cách vào giữa thế kỷ 20 đặt ra. Bằng cách nghiên cứu điều gì làm cho các bài toán Erdős trở nên độc đáo, các nhà toán học đang cố gắng tìm hiểu xem AI có thể thay đổi phần còn lại của toán học như thế nào.

Vào ngày 20 tháng 5 năm 2026, OpenAI đã đưa ra một thông báo gây chấn động giới toán học. Một mô hình AI nội bộ — không công khai cho người dùng — đã tìm ra phản ví dụ cho bài toán “khoảng cách đơn vị” (unit distance), một giả thuyết được đưa ra vào năm 1946 bởi Paul Erdős, nhà toán học người Hungary tài năng và thường xuyên di chuyển.

Erdős đã đặt ra hàng ngàn câu hỏi, nhưng bài toán này rất đặc biệt: Nó vừa dễ giải thích lại vừa có chiều sâu toán học. Đây là chứng minh có ý nghĩa lịch sử đầu tiên đến từ một mô hình AI. Mặc dù kết quả của mô hình này chưa phải là cuối cùng — các nhà toán học con người đã cải thiện đáng kể nó chỉ trong vài tuần — nhưng nó rất sáng tạo, mang đến những ý tưởng từ một nhánh toán học xa xôi mà trước đây chưa ai áp dụng thành công vào bài toán này. Và nó có sức ảnh hưởng lớn: Chỉ trong vài ngày, các kỹ thuật liên quan đã được sử dụng để giải quyết các bài toán quan trọng khác.

Sau đó vào ngày 1 tháng 8, OpenAI thông báo rằng một mô hình chưa phát hành tên là Astra đã đạt được thêm 10 tiến bộ toán học, bao gồm việc tìm ra lời giải cho ba bài toán khác do Erdős đặt ra.

Nhiều nhà toán học đã ca ngợi những phát triển như thế này là một bước chuyển đổi giai đoạn trong năng lực toán học của các mô hình AI. Những mô hình này đang “thay đổi đáng kể cách thức nghiên cứu toán học được thực hiện”, theo Noga Alon từ Đại học Princeton, người đã giải được hàng chục bài toán Erdős trong suốt sự nghiệp kéo dài hàng thập kỷ của mình.

Erdős và các giả thuyết của ông từ lâu đã thu hút các nhà toán học. Ông đi lại không ngừng — sống trong vali trong nhiều năm, ở nhờ nhà bạn bè và hầu như không sở hữu gì cả. Ông liên tục đưa ra các bài toán trong các bài báo và thư từ gửi cho các nhà toán học trên khắp thế giới, thường kèm theo tiền thưởng mà ông tự bỏ tiền túi ra trả cho người đầu tiên tìm ra lời giải. Phần thưởng có thể chỉ là 10 hoặc 25 đô la, hoặc đối với những bài toán ông coi là quan trọng hay khó khăn, con số có thể lên tới hàng ngàn đô la. Erdős qua đời vì một cơn đau tim vào năm 1996 khi đang tham dự một hội nghị toán học ở Warsaw, nhưng một quỹ phi lợi nhuận có trụ sở tại Iowa đã cam kết thực hiện các khoản tiền thưởng của ông.

Ông là một nhân vật được yêu mến, nhưng cũng vô cùng kỳ quặc. Ông chỉ mặc đồ lụa và tránh đụng chạm cơ thể với người khác. Với thái độ hoài nghi sâu sắc về quyền lực, ông cho đi hầu hết số tiền mình kiếm được và dựa vào một người bạn để quản lý tài chính và các công việc thực tế khác. Ông gọi Chúa là “Kẻ phát xít tối cao” và duy trì nguồn ý tưởng toán học không ngừng nghỉ của mình bằng chế độ ăn ổn định với thuốc kích thích amphetamine. Một sự trớ trêu kỳ lạ của lịch sử là những bài toán ông gợi ý giờ đây đã trở thành một sân chơi chứng minh trung tâm — và thực chất là một loạt các chiến dịch PR — cho các công ty công nghệ lớn nhất và quyền lực nhất thế giới.

Nhưng rất có thể tất cả những điều này sẽ không xảy ra nếu không có một nhà toán học người Anh tên là Thomas Bloom.

Nhiều cuộc gặp gỡ

Giống như Erdős, Bloom quan tâm đến cả lý thuyết số và toán học tổ hợp. Trọng tâm của ông là một lĩnh vực gọi là toán học tổ hợp số học, nằm ở điểm giao thoa giữa hai lĩnh vực này. Sau khi lấy bằng tiến sĩ vào năm 2014, Bloom đã khẳng định mình là một ngôi sao đang lên trong ngành, giành được học bổng danh giá từ Hiệp hội Hoàng gia Anh, cho phép ông làm việc tại hầu hết mọi trường đại học mà ông muốn. (Hiện ông đang làm việc tại Đại học Manchester.)

Bloom đã yêu thích phong cách của Erdős từ khi còn nhỏ. Nhưng ông luôn thấy khó khăn trong việc theo dõi xem bài toán nào đã được giải và bài toán nào đã bị lãng quên hoàn toàn. Vì vậy, vào đầu năm 2023, ông quyết định tập hợp càng nhiều bài toán càng tốt vào một danh sách.

Ông dự định dùng nó cho mục đích cá nhân. Nhưng “Tôi nghĩ sẽ dễ dàng hơn nếu tôi có thể truy cập nó ở bất cứ đâu”, ông nói; ông nghĩ rằng “cũng nên tạo một trang web, với kỳ vọng rằng có lẽ chẳng ai dùng đến nó cả”. Ông đã thu thập vài trăm bài toán và ra mắt erdosproblems.com. Bloom đã sử dụng ChatGPT để viết mã Python vận hành trang web, điều mà vào thời điểm đó, là một khả năng đáng kinh ngạc đối với một mô hình ngôn ngữ lớn. Việc sử dụng AI để cộng tác trực tiếp vào toán học vẫn chỉ là một khả năng xa vời.

Mục tiêu của ông không chỉ là gạch bỏ các mục trong danh sách. Ông tự hỏi liệu “toán học hiện đại, thường sử dụng các kỹ thuật mà Erdős chưa biết, có thể giải quyết nhiều bài toán khó hiểu này hay không”, ông viết trong một bài đăng trên blog. “Sau đó, chúng ta sẽ còn lại một cốt lõi gồm các bài toán thú vị, khó khăn, có thể dùng để chứng minh giới hạn kiến thức của chúng ta.”

Bloom đã thực hiện công việc quan trọng trong việc biên tập danh sách: Đôi khi Erdős nêu các bài toán theo cách mơ hồ hoặc không rõ ràng, và Bloom đã tìm ra phiên bản hợp lý nhất cho từng bài toán. Ông tiếp tục thêm các bài toán vào trang web và dần dần lượng người xem tăng lên. Trong suốt năm 2024 và tám tháng đầu năm 2025, trạng thái của 111 bài toán trong danh sách đã được chuyển từ “mở” sang “đã giải” (mặc dù một số bài toán đã được giải từ nhiều năm trước, và việc thay đổi trạng thái phản ánh sự tái phát hiện hoặc xác minh lại một chứng minh).

Sau đó, vào tháng 8 năm 2025, một số đồng nghiệp gợi ý Bloom thêm chức năng bình luận để mọi người có thể thảo luận về các bài toán mà họ quan tâm. Ông đã thực hiện việc này một cách nhanh chóng bằng cách sử dụng ChatGPT để viết mã. Đến lúc này, ông đã lập danh mục gần 1.000 bài toán.

Thời điểm của Bloom rất thuận lợi. Ông đã tạo điều kiện cho những người cùng chí hướng trò chuyện với nhau, và điều đó “thực sự cho phép một cộng đồng hình thành”, ông nói. Phần lớn các bình luận diễn ra lẻ tẻ — một bài toán có thể chỉ thu hút một bình luận duy nhất chỉ ra một ví dụ hoặc ghi chú về độ khó của bài toán. Nhưng hoạt động dần dần tăng lên, và một số bài toán đã thúc đẩy các cuộc thảo luận toán học tinh tế giữa những người lạ.

“Tom có lẽ chưa bao giờ thực sự nhận ra điều này, nhưng đối với tôi, nó thực sự đã thay đổi cuộc đời tôi”, Wouter van Doorn, người bình luận nhiều thứ tư trên trang web của Bloom, cho biết. Giống như nhiều người trở nên tích cực trên trang web vào mùa thu năm 2025, van Doorn không hẳn là một nhà toán học chuyên nghiệp. Anh làm việc “cho một công ty được các công ty khác thuê để hỗ trợ dịch vụ khách hàng”, như cách anh mô tả. Nhưng anh cũng không hẳn là một người nghiệp dư — một thập kỷ trước, anh gần như đã hoàn thành bằng thạc sĩ toán học tại KU Leuven ở Bỉ. Năm 2024, được thúc đẩy một phần bởi khả năng mà anh thấy các LLM đạt được, anh đã xin nghỉ việc sáu tháng để tập trung vào toán học. Vào thời điểm đó, dù không đặc biệt muốn sử dụng AI, anh nhớ mình đã nghĩ: “Ngay bây giờ tôi vẫn giỏi toán hơn AI, nhưng ai biết được một năm, hai năm, năm năm nữa sẽ ra sao? Nếu tôi muốn hoàn thành những dự án này và muốn chúng là của mình, thì bây giờ là lúc.”

Và thế là, vào tháng 10 năm 2025, van Doorn, lúc này đã quay lại công việc thường nhật, đã để lại bình luận đầu tiên trên trang Bài toán 1102. Bài toán này, do Erdős đặt ra vào năm 1981, hỏi về các tính chất của tập hợp các số nguyên “không chứa bình phương” (square-free) — nghĩa là các số nguyên không có thừa số nguyên tố lặp lại. (Ví dụ, 30 là số không chứa bình phương vì nó bằng 2 × 3 × 5, nhưng 18 thì không, vì nó bằng 2 × 3 × 3; số 3 bị lặp lại.)

Vào đầu tháng 11, van Doorn đã chia sẻ tiến trình hướng tới một lời giải — thứ mà anh đã tự tìm ra mà không cần dựa vào AI — dưới dạng một bình luận trên trang bài toán.

Cuối ngày hôm đó, một người bình luận khác trên trang web đã trả lời, cho rằng anh ta đã tìm thấy một lỗ hổng trong lập luận của van Doorn. Cả hai trao đổi qua lại liên tục, và van Doorn đã thuyết phục được người đối thoại rằng lập luận của mình là đúng. “Tôi hiểu lập luận của bạn hoạt động như thế nào rồi. Tuyệt!” nhà toán học kia trả lời. Nhà toán học đó chính là Terence Tao, giáo sư tại Đại học California, Los Angeles, người có thể nói là nhà toán học nổi tiếng nhất hiện nay và chắc chắn là một trong những người có ảnh hưởng nhất. (Không phải ngẫu nhiên mà khi Tao mới 10 tuổi, ông đã từng gặp Erdős.)

Trang web của Bloom, với giao diện mang phong cách của một thời kỳ trước, đang trở thành một ví dụ về internet ở trạng thái dân chủ tốt nhất. “Toàn bộ sự hợp tác này sẽ không thể thực hiện được nếu không có trang web của Tom và phần bình luận ở đó”, van Doorn nói. Không quan trọng bạn có biên chế hay không, bạn trẻ hay già, bạn đang ở một trường đại học danh tiếng hay thậm chí có đang ở trường đại học nào hay không. Nếu bạn muốn làm toán và có ý tưởng hay, bạn có thể tìm thấy những người để cộng tác cùng.

Nhưng khi mùa đông đến — khoảng thời gian mà van Doorn thấy mình đang cộng tác với Terry Tao — mọi thứ bắt đầu thay đổi.

Hành trình đến ngã ba đường

Kevin Barreto và Liam Price, cả hai đều ở độ tuổi ngoài 20, đã trở thành bạn bè vào mùa hè năm 2025 trên một máy chủ Discord dành riêng cho AI. Barreto hiện là sinh viên đại học tại Đại học Cambridge; Price đã học một chút toán ở đại học nhưng đã rời đi trước khi tốt nghiệp. Vào tháng 12, tin rằng các mô hình AI mới nhất có thể thành công trong việc giải quyết một số bài toán Erdős, cả hai bắt đầu đưa hàng loạt bài toán cho chúng. Họ sớm nhận ra rằng nếu nói với GPT-5.2 rằng lời giải của bài toán chưa được biết đến, nó sẽ không tiến triển được nhiều, vì vậy như Barreto nói, họ đã học cách “nhắc lệnh (prompt) theo một cách rất đặc biệt, đánh lừa nó nghĩ rằng bài toán dễ hơn thực tế”.

Họ đã có thứ mà họ nghĩ là chiến thắng đầu tiên với Bài toán Erdős 333. Sáng sớm ngày Giáng sinh, Barreto đã đăng một chứng minh lên trang web của Bloom, viết rằng: “Chúng tôi tin rằng, theo hiểu biết tốt nhất của mình, đây là trường hợp đầu tiên một LLM giải quyết hoàn toàn tự động một bài toán Erdős mà con người chưa giải được trước đó.” Mặc dù bài toán 333, liên quan đến tổng của các tập hợp số nguyên, không phải là một bài toán đặc biệt quan trọng, nhưng việc giải nó bằng AI vẫn mang lại cảm giác quan trọng.

Nhưng vài giờ sau, một người dùng khác chỉ ra rằng chính Erdős đã đưa ra lời giải cho bài toán 333 trong một bài báo xuất bản năm 1977. Barreto thừa nhận sai lầm. “Yêu cầu chính thức của tôi đối với tất cả các thành viên trên trang web là hãy tập trung hơn vào việc tìm kiếm tài liệu về các bài toán hiện đang được đánh dấu là mở”, anh viết. “Là một người đã mắc lỗi này hai lần rồi, cảm giác thật sự rất đau lòng.”

Không nản lòng, anh và Price tiếp tục cố gắng, và đến ngày 4 tháng 1 năm 2026, họ đã sử dụng GPT-5.2 Pro để tìm ra lời giải cho bài toán Erdős 728, một bài toán về việc khi nào các số nhất định chia hết cho các số khác. Lần này không ai có thể tìm thấy công trình trước đó đã chứng minh điều này. Barreto đã sử dụng một công cụ AI khác có tên là Aristotle (do một startup tên là Harmonic phát triển) để chứng nhận rằng chứng minh đó logic và chặt chẽ. Nat Sothanaphan, một kỹ sư phần mềm và là người tham gia diễn đàn tích cực hơn cả Bloom, Tao và van Doorn, đã nhờ ChatGPT viết ra kết quả chính thức và đăng trực tuyến.

Price đã phát triển một phương pháp về cách yêu cầu các LLM giải các câu hỏi mở. Đầu tiên, anh sẽ yêu cầu một chatbot đưa ra lời giải. Sau đó, anh sẽ đưa lời giải đó vào một phiên bản chatbot mới, yêu cầu nó kiểm tra công việc của chatbot trước đó. Anh lặp lại quá trình này cho đến khi có được thứ trông giống như một lời giải khả thi. (Điều này phản ánh một phần công việc mà các công ty đang thực hiện nội bộ để tạo ra cái mà họ gọi là các bộ khung (harnesses hoặc scaffolds), giúp tự động hóa kiểu lặp lại mà Price thực hiện bằng tay.)

Các bài báo của Barreto và Price chỉ đại diện cho một phần nhỏ trong số rất nhiều bài toán Erdős được giải quyết ít nhất một phần bởi AI trong vài tháng qua. Có nhiều lý do tại sao những bài toán này trở thành mảnh đất thử nghiệm màu mỡ cho các LLM. Lý do chính là, nhìn chung, các bài toán Erdős nằm trong lý thuyết số, toán học tổ hợp và lý thuyết đồ thị, tất cả đều là những lĩnh vực toán học đã chứng minh là dễ tiếp cận hơn đối với các mô hình ngôn ngữ lớn so với các lĩnh vực khác. Các bài toán cũng khác nhau rất nhiều về độ khó và ý nghĩa toán học. Sự đa dạng này làm cho chúng phù hợp với một công nghệ mới nổi mà khả năng cũng khác nhau rất nhiều.

Nhiều bài toán của Erdős có giá trị tiền tệ gắn liền với chúng ngay từ khi mới ra đời, một sự khích lệ vui vẻ từ một người lập dị hay lang thang. Nhưng giờ đây, khi các bài toán đã trở thành một tiêu chuẩn không chính thức cho AI, các lời giải của chúng đang được thảo luận dưới góc độ “chi phí trên mỗi bài toán” — giá của các token cần thiết để giải chúng.

Ảnh của George Csicsery từ bộ phim tài liệu N is a Number: A Portrait of Paul Erdős ©1993. Đã đăng ký bản quyền.

“Rất nhiều bài báo gần đây của tôi nên được ghi công phần lớn cho AI”, van Doorn nói. “Các ý tưởng liên quan là những ý tưởng mà tôi không tự mình nghĩ ra.” Giống như nhiều người tích cực trên trang web Erdős, van Doorn rất hào hứng với cách các LLM cho phép anh làm được nhiều việc hơn một cách nhanh chóng hơn. “Nếu tôi đọc một ý tưởng từ LLM, tôi sẽ tiêu hóa nó, cố gắng hiểu, đơn giản hóa và khái quát hóa nó”, anh nói. Anh sử dụng AI để hiểu toán học tốt hơn.

Không phải ai cũng tuân theo tiêu chuẩn này. “Một vấn đề lớn là AI đang được sử dụng rất nhiều bởi những người không phải là nhà toán học, những người không có nền tảng toán học vững chắc và không có khả năng xác minh kết quả đầu ra”, Bloom nói. “Họ thích làm nhanh, yêu cầu AI của họ kiểm tra, và nó cứ thế lớn dần lên. Chúng ta đang thấy nhiều hơn những bài báo dài 100 đến 200 trang mà mọi người đăng tải. ‘Tôi đã giải được định lý này; tôi đã nhờ AI tạo ra chứng minh, kiểm tra chứng minh và viết bài báo.’ Nhưng không có con người nào đọc nó, và cũng sẽ không có ai đọc nó cả. Đây là một thách thức lớn hiện nay.”

Theo đánh giá của chính Price, anh không có đủ hiểu biết toán học để xác minh các lời giải mà cuối cùng anh đã thuyết phục được các LLM đưa ra. Nhưng với sự giúp đỡ của Barreto, anh đã có thể tìm thấy những nhà toán học am hiểu và sẵn lòng kiểm tra các kết quả. Cả Price và Barreto đều là đồng tác giả với Tao, Jared Duker Lichtman của Đại học Stanford và các nhà toán học tài năng khác trong một bài báo vào tháng 5 năm 2026 giải quyết bài toán Erdős 1196, một trong những kết quả quan trọng nhất của họ. (Bài toán 1196 hỏi về kích thước có thể có của cái gọi là tập hợp nguyên thủy — các tập hợp số nguyên, chẳng hạn như {2, 5, 9, 21}, trong đó không có số nào chia hết cho số nào khác.)

Bloom ngạc nhiên rằng bất chấp sự chú ý từ OpenAI, Google DeepMind và một số startup, hầu hết các kết quả mới đều đến từ những người có sở thích và sinh viên đại học sử dụng các LLM công khai, chứ không phải từ các phòng thí nghiệm của các tập đoàn sử dụng các mô hình nội bộ tiên tiến hơn.

Nhưng điều đó đã thay đổi vài tuần sau đó, vào ngày 20 tháng 5 năm 2026, khi OpenAI thông báo rằng họ đã giải được một trong những bài toán Erdős nổi tiếng nhất, bài toán khoảng cách đơn vị.

Nhiều cuộc chia ly

Trong những tháng đầu năm 2026, các công ty công nghệ lớn bắt đầu nhìn thấy cơ hội ở erdosproblems.com. Như Lichtman giải thích, “Erdős có hơn 1.000 bài báo. Chúng nằm rải rác khắp nơi.” Một viện nghiên cứu ở Hungary đã thu thập các hình ảnh quét của nhiều bài báo, nhưng chưa ai thu thập tất cả các bài toán. “Kiểu kho lưu trữ duy nhất mà bất kỳ ai cũng có thể truy cập này — các phòng thí nghiệm nhận ra rằng đây có thể thực sự trở thành một tiêu chuẩn đánh giá.”