Claude đạt bước tiến mới trong toán học: Cải thiện đáng kể cận dưới của hàm Riemann zeta

Gần đây, một nhân viên tại Anthropic đã đưa ra cho Claude một thử thách vô lý. Đó là về một trong những bài toán chưa có lời giải nổi tiếng nhất trong toán học: Thử sức thực sự với giả thuyết Riemann.

Claude đã thực sự thử sức, nhưng như bạn có thể đoán trước nếu đã quen với độ khó của nhiệm vụ này (giả thuyết Riemann có từ năm 1859 và có giải thưởng trị giá một triệu đô la), nó đã không thành công. Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện, nó đã bất ngờ đạt được những bước tiến trong một bài toán liên quan.

Một phiên bản nghiên cứu chưa được phát hành của Claude đã cải thiện cận dưới lâu đời về tỷ lệ các nghiệm của hàm Riemann zeta thỏa mãn giả thuyết Riemann. Dựa trên các nghiên cứu sâu rộng trước đây của các nhà toán học trong nhiều thập kỷ qua, nó đã nâng cận này từ 41,6% lên 67,2%.

Hai nhà toán học tại Anthropic đã nghiên cứu và xác thực bài báo của Claude, đồng thời soạn thảo một ghi chú không chính thức dành cho các chuyên gia để trình bày ngắn gọn chứng minh của Claude. Claude cũng đã tạo ra một chứng minh có thể kiểm chứng chính thức cho kết quả của mình. Chúng tôi rất biết ơn Brian Conrey và Dan Goldston, hai chuyên gia trong lĩnh vực này, vì đã hào phóng xem xét bài báo trong thời gian ngắn.

Chúng tôi không kỳ vọng rằng các kỹ thuật mà Claude sử dụng sẽ dẫn đến việc chứng minh được giả thuyết Riemann. Nhưng công trình của nó đóng vai trò là ví dụ mới nhất về tốc độ tiến bộ trong năng lực toán học của các mô hình AI. Trong bài viết này, chúng tôi thảo luận về cách Claude tiếp cận bài toán này và những gì nó đã tìm ra.

Hàm Riemann zeta

Hàm Riemann zeta mô tả sự phân bố của các số nguyên tố: mỗi vị trí mà hàm nhận giá trị bằng 0 đều đóng góp vào các chi tiết ngày càng tinh vi hơn cho dãy số nguyên tố. Giả thuyết Riemann cho rằng các nghiệm xác định số nguyên tố đều nằm dọc theo một đường thẳng đứng nhất định. Đây đã trở thành một trong những phỏng đoán quan trọng nhất trong toán học: nhiều kết quả giả định điều này để cung cấp một dạng tính ngẫu nhiên trong các số nguyên tố.

Chưa ai có thể chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết Riemann, nhưng các nhà toán học đã đạt được tiến bộ trong nhiều hướng liên quan khi nghiên cứu hàm Riemann zeta và các nghiệm của nó. Một trong số đó, như đã nêu ở trên, là định lượng tỷ lệ tối thiểu các nghiệm nằm trên đường thẳng đó: theo thời gian, họ đã dần dần nâng tỷ lệ hằng số đã biết này lên 41,6%.

Một hướng khác liên quan đến sự phân bố các nghiệm trên đường thẳng. Cụ thể, vào năm 1973, Montgomery đã giới thiệu một số kỹ thuật mới trong lĩnh vực này, mặc dù các kỹ thuật này giả định rằng giả thuyết là đúng. Gần đây hơn, một số nhà toán học (Baluyot, Goldston, Suriajaya và Turnage-Butterbaugh) đã công bố một loạt công trình cho phép các kỹ thuật của Montgomery hoạt động mà không cần giả định đó, nghĩa là chúng có thể hỗ trợ công việc tăng hằng số cận dưới cho các nghiệm trên đường thẳng. Kết quả của Claude dựa nhiều vào hướng nghiên cứu này, cùng với một bài báo năm 2000 của Bombieri.

Phát hiện của Claude

Claude nhận thấy rằng việc kết hợp các kết quả từ Baluyot, Goldston, Suriajaya và Turnage-Butterbaugh với công trình của Bombieri cung cấp một cách để vượt qua tỷ lệ cận dưới tiên tiến nhất trước đây là 41,6%, nâng nó lên 67,2%.

Giải thích kỹ thuật ngắn gọn về phát hiện của Claude như sau: Claude tạo ra một không gian hàm phù hợp với dạng toàn phương do Weil gợi ý, cùng các không gian con xác định dương (tương ứng âm) phát sinh từ các nghiệm nằm trên (tương ứng ngoài) đường thẳng. Sau đó, Claude đơn giản là viết ra một bất đẳng thức về hạng của dạng toàn phương dựa trên thông tin mô-men bậc nhất và bậc hai. (Việc tính toán thành công các mô-men này dựa trên bức tranh đối ngẫu qua các số nguyên tố, hoặc thông qua việc kiểm soát biến đổi Hilbert, không phải là điều bất ngờ trong lý thuyết số giải tích.) Sự can đảm để xử lý toàn bộ không gian, với tính xác định dương và âm được xem xét cùng nhau, và cho phép dạng toàn phương không phải là dạng đường chéo, theo một nghĩa nào đó chính là bước đi cho phép Claude đạt được kết luận dựa trên các công trình quan trọng trước đó.

Giải thích kỹ thuật đầy đủ có sẵn trong bài báo. Giải thích của Claude về cách nó đi đến kết quả của mình có sẵn trong một Phụ lục riêng, tại đây.

Phương pháp luận của Claude

Một phiên bản nghiên cứu chưa được phát hành của Claude đã tìm ra cận dưới mới trong hai phiên làm việc trong Claude Code, sử dụng tổng cộng 31 triệu token đầu ra.

Jarred Sumner, một nhân viên của Anthropic (và không phải là nhà toán học), đã gợi ý Claude “thử sức thực sự” với chính giả thuyết này, để các lựa chọn toán học từ đó cho mô hình tự quyết định. Ban đầu, Claude đã tạo và thử 650 ý tưởng, không có ý tưởng nào hiệu quả. Jarred yêu cầu Claude thử lại, và nó đã dành một ngày rưỡi để điều phối khoảng 60 tác nhân phụ (subagents) của Claude, lần này chúng đã đi sâu hơn nhiều: giữa chúng, chúng đã chạy 2.400 lệnh shell và viết hàng trăm tập lệnh Python. Các tác nhân phụ đã chạy hàng ngàn kiểm tra số học đối với các nghiệm zeta đã biết và đánh giá công việc của nhau. Trong suốt quá trình này, đóng góp của Jarred chủ yếu giới hạn ở việc gửi cho Claude những tin nhắn khích lệ (phần lớn là các biến thể của “hãy tiếp tục” hoặc “hãy tin vào bản thân”). Điều này dường như đã giúp Claude vượt qua sự hoài nghi ban đầu rằng nó có thể đạt được tiến bộ đáng kể.

Sau khi tìm thấy kết quả mới này trong khi thực hiện nhiệm vụ, Claude đã kiểm tra công việc của mình bằng cách để các tác nhân phụ khác nhau xem xét các chứng minh, tìm kiếm các phản ví dụ, tải xuống 54 bài báo từ arXiv để kiểm tra xem phát hiện của mình đã được thực hiện trước đó chưa, và độc lập chứng minh lại kết quả của mình từ đầu. Claude đã tự nguyện viết các phát hiện của mình thành một bài báo và khuyến nghị một nhà lý thuyết số con người xác thực các phát hiện đó.

Levent Alpöge và Ralph Furman, hai nhà toán học của Anthropic, đã xem xét công trình của Claude để hiểu các kết quả mới và cách chúng liên quan đến các công trình trước đó đã đề cập ở trên. Song song đó, Claude đã làm việc với một nhân viên khác, Eric Easley, để tạo ra một bản chính thức hóa Lean cho kết quả này, vốn đã vượt qua công cụ xác thực tiêu chuẩn.

Tiến bộ của các mô hình AI trong toán học

Kết quả này cho thấy các mô hình AI như Claude có thể mở rộng tác động và phạm vi ý tưởng của các nhà toán học theo những cách mới và đôi khi đáng ngạc nhiên. Mặc dù nó không thể tự mình giải quyết giả thuyết Riemann, nhưng kết quả này đã xuất hiện như một sản phẩm phụ không chủ ý từ yêu cầu ban đầu đó.

Ngay cả Claude cũng ngạc nhiên trước phát hiện của chính mình—ban đầu nó tỏ ra hoài nghi, có thể vì nó đã học được từ quá trình đào tạo về độ khó của các bài toán mở trong toán học và về những hạn chế của các mô hình AI. Nhưng sau một vài lời nhắc khích lệ, nó đã đi đến kết quả mà chúng tôi đã mô tả. Có lẽ Claude, giống như nhiều người trong chúng ta, đánh giá thấp tốc độ tiến bộ của AI.

Đọc thêm

Dưới đây là danh sách các tài liệu cung cấp thêm thông tin về kết quả của Claude:

Nội dung liên quan

Khám phá các lỗ hổng mật mã với Claude

các thuật toán mật mã. Cuộc tấn công đầu tiên làm suy yếu đáng kể HAWK, một lược đồ chữ ký số được xây dựng cho một thế giới tương lai nơi máy tính lượng tử có thể phá vỡ các tiêu chuẩn hiện có. Cuộc tấn công thứ hai xác định một cách mới để tấn công AES giảm vòng, loại mật mã đối xứng được sử dụng rộng rãi nhất.

Đọc thêm

Dự án Pilot: AI có thể điều khiển máy bay không người lái không?

Hợp tác với Andon Labs, chúng tôi đã phát triển một loạt đánh giá mới nhằm kiểm tra khả năng sử dụng máy bay không người lái của các mô hình AI, đỉnh điểm là một tiêu chuẩn mới: Drone-Bench.

Đọc thêm

Canada sử dụng Claude như thế nào: Những phát hiện từ Chỉ số Kinh tế Anthropic

Đọc thêm