Giả thuyết Jacobian bị bác bỏ: Fable AI tìm ra phản ví dụ đa thức 3 chiều

Giả thuyết Jacobian khét tiếng có thể được phát biểu một cách cụ thể trên trường số phức như sau.

Điều kiện Jacobian khác không tương đương với việc khả nghịch cục bộ. (Hệ quả từ Jacobian không triệt tiêu dẫn đến tính khả nghịch cục bộ tuân theo định lý hàm ngược; chiều ngược lại có thể được suy ra từ định lý chuẩn bị Weierstrass, nhưng ở đây sẽ được lược bỏ.) Ngoài ra, từ định lý cơ bản của đại số, một khi đa thức Jacobian khác không, nó phải là hằng số. Vì vậy, giả thuyết “Jacobian là một hằng số khác không” có thể được thay thế bằng “ là khả nghịch cục bộ”. Do đó, giả thuyết Jacobian có thể được xem là một khẳng định rằng tính khả nghịch cục bộ kéo theo tính khả nghịch toàn cục. Trường số phức có thể dễ dàng được thay thế bằng các trường khác có đặc số không nhờ nguyên lý Lefschetz, nhưng tôi ưu tiên làm việc trong bối cảnh cụ thể của số phức.

Gần đây, người ta đã chứng minh được (sử dụng Fable AI) rằng giả thuyết này là sai trong không gian ba chiều (và do đó cũng sai trong các chiều cao hơn):

Giả thuyết này vẫn còn là một bài toán mở trong không gian hai chiều, và dễ dàng thiết lập trong không gian một chiều.

Ví dụ này có thể được nêu ra một cách hoàn toàn tường minh: ta có thể lấy

và ta có thể kiểm chứng bằng một phép tính ngắn gọn rằng

và

Mặc dù đây là một phép kiểm chứng cực kỳ nhanh chóng, nhưng cấu trúc được trình bày theo cách này trông giống như một phép màu vĩ đại. Đa thức có bậc bảy, vì vậy theo tiên nghiệm, Jacobian lẽ ra phải là một đa thức ba biến có bậc lên tới, nên thực tế là tất cả các hệ số không hằng của đa thức này đều triệt tiêu trông giống như một sự triệt tiêu khổng lồ liên quan đến các phương trình, vốn lớn hơn nhiều so với các bậc tự do của một ánh xạ đa thức bậc bảy tổng quát gồm ba biến. Vì vậy, việc tìm ra một đa thức như vậy bằng phương pháp vét cạn (brute force) là điều rất khó xảy ra.

Ví dụ này kể từ đó đã được giải thích lại theo các thuật ngữ hình học hơn. Như một bài tập “tiêu hóa” cho bản thân, tôi đã cố gắng viết lời giải thích này với việc sử dụng tương đối ít hình học đại số, theo cách giảm thiểu tối đa số lượng “phép màu” cần thiết, mặc dù vẫn còn một vài nơi xuất hiện một số hiện tượng đáng chú ý.

Việc sử dụng công thức tính đơn ánh cục bộ và tổng quát hóa miền xác định thành một đa tạp affine tương đương là rất thuận tiện. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh

Rõ ràng ta có thể đi từ Định lý 3 đến Định lý 2 bằng cách hợp thành với đẳng cấu và sử dụng sự kiện đã đề cập trước đó rằng tính đơn ánh cục bộ kéo theo Jacobian là hằng số khác không. Mục tiêu của chúng ta bây giờ là tìm dữ liệu, thỏa mãn ba tính chất riêng biệt:

Ưu điểm của việc chia bài toán thành ba thành phần này là chúng ta có thể xây dựng dần dần từng thành phần một.

(Một lưu ý nhỏ: nói một cách chính xác, trong các lập luận dưới đây, chúng ta không chỉ thay thế miền của bằng một đa tạp tương đương, mà còn thay thế tập đích của bằng một đa tạp tương đương. Nhưng sự tương đương giữa và là một đẳng cấu tuyến tính đơn giản ( sẽ chỉ là một siêu phẳng trong không gian vector bốn chiều), vì vậy chúng tôi không nhấn mạnh khía cạnh này của cấu trúc.)

Hóa ra và có thể được xây dựng từ phép toán nhân các đa thức bậc thấp. Cụ thể, hãy xem xét ba không gian affine đơn giản sau:

(Ký hiệu ở đây đề cập đến lũy thừa đối xứng của một không gian vector.) Rõ ràng các không gian này lần lượt đẳng cấu với. Hơn nữa, chúng ta có một ánh xạ nhân, ánh xạ một cặp gồm một đa thức tuyến tính và một đa thức bậc hai thành một đa thức bậc ba

(Hiện tại, miền và tập đích của ánh xạ này có số chiều lớn hơn mục tiêu là ba; chúng ta sẽ cắt giảm số chiều xuống còn ba khi lập luận tiến triển.)

Ánh xạ, về cơ bản là một ánh xạ từ đến, rõ ràng là đa thức; nó được cho một cách tường minh trong các tọa độ là Ánh xạ này cũng có hai tính đối xứng cơ bản (và giao hoán):

Vì vậy, ánh xạ này có một lượng lớn tính bất biến (equivariance), về cơ bản là đối với tác động của nhóm năm chiều.

Miền năm chiều tất nhiên lớn hơn tập đích bốn chiều, vì vậy ánh xạ rõ ràng không thể là đơn ánh. Điều này đã có thể thấy từ tính đối xứng tỉ lệ, vì các tỉ lệ cụ thể cho làm thay đổi các đa thức tuyến tính và bậc hai nhưng không làm thay đổi tích của chúng. Nhưng ngay cả khi ta chia cho tính đối xứng này (3) để cắt giảm số chiều của miền xuống còn bốn, ánh xạ vẫn không đơn ánh vì lý do cơ bản sau đây. Một đa thức bậc ba được chọn ngẫu nhiên sẽ tách thành tích của ba đa thức tuyến tính độc lập. Khi đó có ba cặp đều ánh xạ tới cùng một đa thức bậc ba

dưới ánh xạ nhân, nhưng không liên quan đến nhau bởi tính đối xứng tỉ lệ (3). Như vậy, chúng ta thấy rằng ngay cả sau khi chia cho tính đối xứng tỉ lệ (3), ánh xạ nhân vẫn không đơn ánh theo kiểu ba-một một cách tổng quát. Do đó, chúng ta đã đạt được điều gì đó giống với mục tiêu (b)!

Sẽ rất thuận tiện nếu “dành” tính đối xứng tỉ lệ để có được một sự chuẩn hóa hữu ích. Nếu là một đa thức tuyến tính và là một đa thức bậc hai, thì resultant có thể được định nghĩa bằng định thức Nếu chúng ta có một sự phân tích thành nhân tử

thì resultant cũng có thể được mô tả là

Như vậy, resultant đo lường liệu đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai có chia sẻ một nghiệm chung hay không. Một sự kiện cơ bản về resultant là chúng bất biến dưới tác động của: với bất kỳ, ta có

Một cách để thấy điều này là kiểm tra trước tiên đối với các phép tịnh tiến (chuyển các nghiệm đi một khoảng trong khi vẫn giữ nguyên) và đối với các phép nghịch đảo (ánh xạ tới trong khi ánh xạ tới và tương ứng), và sau đó lưu ý rằng các phép biến đổi này tạo ra toàn bộ. Chúng cũng tương tác rất tốt với việc thay đổi tỉ lệ:

Đặc biệt, tính đối xứng tỉ lệ (3) nhân với:

Do đó, chúng ta có thể (một cách tổng quát) chuẩn hóa để loại bỏ tính đối xứng tỉ lệ này bằng cách áp đặt điều kiện

Bây giờ chúng ta có một ánh xạ nhân bị hạn chế (mà do lạm dụng ký hiệu, chúng ta sẽ tiếp tục gọi là) từ đa tạp bốn chiều đến không gian bốn chiều. Ánh xạ này vẫn không đơn ánh toàn cục, vì chúng ta có thể lấy ba cặp trong (4) từ trước và áp dụng tỉ lệ (3) riêng biệt cho từng cặp trong ba cặp để đạt được sự chuẩn hóa (7). Vì vậy, chúng ta đã giữ được tính chất (b). Hơn nữa, ánh xạ này vẫn giữ được tính bất biến (và cả một tính đối xứng tỉ lệ còn lại, mặc dù chúng ta sẽ không sử dụng nhiều tính đối xứng đó).

Nhưng bây giờ chúng ta cũng có tính chất (a)! Giả sử chúng ta muốn chứng minh tính đơn ánh cục bộ của trong vùng lân cận của một cặp với. Vì resultant không triệt tiêu, nghiệm của (tồn tại trong mặt cầu Riemann, hoặc đường thẳng xạ ảnh nếu bạn thích) khác với hai nghiệm của (mặc dù hai nghiệm sau có thể bằng nhau). Áp dụng tác động (thực hiện các phép biến đổi Möbius trên các nghiệm), người ta có thể giả định không mất tính tổng quát rằng là điểm tại vô cực (hoặc tương đương), do đó với một số số phức và với một số số phức, với điều kiện resultant (7) đơn giản hóa thành (vì vậy đặc biệt là cũng khác không). Khi đó rõ ràng là nếu ta nhiễu loạn và một lượng nhỏ (ví dụ, sửa đổi từng hệ số một lượng), thì nghiệm của sẽ nhiễu loạn thành một giá trị lớn, trong khi các nghiệm của vẫn bị chặn. Do đó, chỉ từ kiến thức về tích, người ta có thể tái tạo lại nghiệm nào trong ba nghiệm của đa thức bậc ba này sẽ là nghiệm bị nhiễu loạn của, và hai nghiệm nào sẽ là các nghiệm bị nhiễu loạn của; từ điều này và (6), (7), chúng ta cũng có thể tái tạo lại hệ số dẫn đầu của, và điều này xác định hoàn toàn cả và. Điều này thiết lập tính chất đơn ánh cục bộ (a). (Trên thực tế, nó là étale, nhưng chúng ta sẽ không cần đến bộ máy của các ánh xạ étale ở đây.)

Thật không may, điều kiện (c) (phiên bản bốn chiều) thất bại: siêu mặt bậc hai (8) không đẳng cấu với không gian affine. Nhưng chúng ta có thể cố gắng vượt qua điều này bằng cách chuyển sang một lát cắt ba chiều. Gọi là một mặt phẳng affine ba chiều của (mà chúng ta sẽ chọn để tránh gốc tọa độ vì lý do kỹ thuật), khi đó chúng ta có thể hạn chế như một ánh xạ từ tập hợp

đến. Rõ ràng có thể xác định (bằng các thay đổi tọa độ tuyến tính) với. Vì đã khả nghịch cục bộ, nó vẫn khả nghịch cục bộ dưới sự hạn chế; và vì các đa thức bậc ba tổng quát có ba tiền ảnh dưới trong (8), điều này vẫn tiếp tục đúng sau khi hạn chế xuống (9) (trừ khi bằng cách nào đó quá suy biến đến mức không có các phần tử tổng quát, nhưng điều này hóa ra là không thể). Vì vậy, chúng ta đã giữ lại các tính chất (a) và (b). Phép màu là, với một lựa chọn tốt cho, chúng ta cũng có thể đạt được (c) và có được phản ví dụ mong muốn cho giả thuyết Jacobian: bất chấp vẻ ngoài, đa tạp (9) trên thực tế tương đương với không gian affine thông qua các thay đổi biến số đa thức!

Hãy xem cách thực hiện. Các siêu phẳng affine trong tránh gốc tọa độ được tham số hóa bởi không gian đối ngẫu của các siêu phẳng tránh gốc tọa độ, mà người ta có thể coi là các toán tử vi phân thuần nhất bậc ba khác không trong hai biến. Thật vậy, mọi toán tử như vậy đều tạo ra một siêu phẳng affine tránh gốc tọa độ, và ngược lại, theo tính đối ngẫu, mọi siêu phẳng affine tránh gốc tọa độ đều phát sinh duy nhất dưới dạng này. Cũng giống như các đa thức bậc ba trong có thể được phân tích thành ba đa thức tuyến tính, các toán tử vi phân trong không gian đối ngẫu cũng có thể được phân tích thành ba toán tử vi phân tuyến tính, ví dụ:

trong trường hợp khác không. Tác động di chuyển các nghiệm xung quanh mặt cầu Riemann bằng các phép biến đổi Möbius. Vì các phép biến đổi này là -truyền, việc lựa chọn thực tế các nghiệm như vậy không quá quan trọng (và tính đối xứng tỉ lệ tương tự làm cho việc chọn hệ số dẫn đầu trở nên không quan trọng); điều duy nhất cần theo dõi là liệu các nghiệm có lặp lại hay không. Cho đến các tính đối xứng, trên thực tế chỉ có ba lớp tương đương khác nhau của toán tử vi phân (và do đó của siêu phẳng affine) cần xem xét:

Hóa ra phép màu affine cho (9) xảy ra chính xác trong trường hợp thứ hai, khi có hai nghiệm giống hệt nhau. Tôi không có một lời giải thích hình học hoàn toàn thỏa đáng cho phép màu này, nhưng người ta có thể kiểm chứng nó bằng phép tính tọa độ sau đây.

Bằng cách áp dụng tác động, chúng ta có thể chuẩn hóa để, do đó bây giờ là siêu phẳng affine của các đa thức bậc ba với. Sử dụng (2) và (5), đa tạp (9) bây giờ có thể được mô tả tường minh trong các tọa độ là Thoạt nhìn, đây có vẻ là một đa tạp trông có vẻ tổng quát được cắt ra bởi một phương trình bậc ba và một phương trình bậc hai – khó có thể là ứng cử viên để trở thành không gian affine! Nhưng hãy quan sát rằng nếu khác không, thì phương trình thứ hai có thể được giải cho, và phương trình thứ nhất có thể được giải cho, Kết hợp hai phương trình này lại, chúng ta thấy rằng miễn là người ta loại bỏ trường hợp, bộ năm được xác định duy nhất bởi thông qua một sự thay đổi biến số là Laurent trong và đa thức trong. Như vậy, chúng ta có một sự tương đương song hữu tỉ tốt.