Grant Sanderson: Toán học cần vinh danh 'lời giải thích có động cơ' thay vì chỉ tập trung vào chứng minh

[Đây là bài viết khách mời của Grant Sanderson. Bài blog này ban đầu được viết ở định dạng tệp khác và được chuyển đổi bằng AI. — T.]

Một quan điểm đang lan tỏa khắp cộng đồng toán học hiện nay là việc giải quyết các bài toán và tạo ra các chứng minh luôn đóng vai trò là đại diện cho mục tiêu thực sự của các nhà toán học, đó là thúc đẩy sự hiểu biết của con người. Khi các chứng minh có thể được tạo ra mà không cần đến sự hiểu biết đó, giá trị của chúng với tư cách là một đại diện sẽ bị suy giảm.

Điều này ngay lập tức đặt ra một câu hỏi: Chúng ta nên sử dụng những đại diện nào khác thay thế?

Tôi muốn đề xuất rằng chúng ta cần định nghĩa một cách vững chắc hơn khái niệm “giải thích có động cơ” (motivated explanation) và dành cho những giải thích có động cơ mới mẻ, thuyết phục sự công nhận trong học thuật tương tự như cách mà việc tạo ra các chứng minh mới cho các bài toán mở đã đạt được trong lịch sử.

Hơn nữa, tôi tin rằng đây là một bước quan trọng để giúp những người ngoài ngành toán hiểu rõ hơn về những đóng góp của các nhà toán học. Nếu người ngoài tin rằng các cỗ máy tạo chứng minh khiến các nhà toán học trở nên lỗi thời, trong khi người trong ngành lại thấy đó là sự hiểu lầm về những gì các nhà nghiên cứu mang lại, thì cộng đồng này có trách nhiệm phải thể hiện rõ hơn các giá trị thực sự của mình thông qua loại công việc mà họ tôn vinh. Người ngoài có thể được tha thứ vì sự hiểu lầm này nếu công việc được ca ngợi nhiều nhất lại nghiêng hẳn về việc tạo ra các chứng minh, trong khi việc làm sáng tỏ và diễn giải lại bị coi là hạng hai.

Tôi nên thừa nhận ngay từ đầu một thiên kiến cá nhân rõ ràng. Tôi có một sự nghiệp phi truyền thống trong toán học, tập trung vào việc sản xuất các video về chủ đề này. Điều này chia sẻ mục tiêu “thúc đẩy sự hiểu biết của con người”, nhưng trọng tâm của tôi là các giải thích và trực giác gây tiếng vang với công chúng, chứ không phải là giải quyết các bài toán hóc búa. Một người hoài nghi có thể dễ dàng coi đề xuất này là hành động tự nâng tầm bản thân một cách trơ trẽn.

Tuy nhiên, xét về mặt thực tế, sự nghiệp và nguồn tài trợ của tôi nằm ngoài giới học thuật, và tôi không có lợi ích cá nhân trong việc cộng đồng này phân bổ sự công nhận như thế nào. Hơn nữa, khi đề xuất nâng cao vị thế của các giải thích có động cơ, tôi không có ý nói đến việc phổ biến kiến thức đại chúng. Tôi muốn nói đến bất kỳ công việc nào có mục tiêu chính là trả lời câu hỏi “làm thế nào bạn nghĩ ra điều đó?”, ngay cả khi chủ đề đó đòi hỏi chuyên môn sâu mới có thể đánh giá được.

Những ví dụ tôi nêu bật dưới đây cho thấy đây không phải là điều gì mới mẻ. Các nhà toán học đang hành nghề đã dành một lượng tâm trí đáng kể cho công việc như thế này. Đề xuất ở đây chủ yếu là 1) định nghĩa rõ ràng hơn về công việc này, và 2) nâng cao vị thế của nó.

Điều gì định nghĩa một giải thích có động cơ?

Mặc dù cụm từ “giải thích có động cơ” có thể đã rõ ràng về ý nghĩa, nhưng cũng cần so sánh ngắn gọn nó với chứng minh.

Trong một chứng minh, các định nghĩa nằm ở phần đầu. Việc bắt đầu với một cấu trúc mới và tiến hành phân tích các tính chất của nó là điều phổ biến và được mong đợi.

Trong một giải thích có động cơ, các định nghĩa nằm ở phần giữa. Các cấu trúc mới chỉ được phép đưa vào từ vựng nếu vấn đề mà chúng giải quyết đã được thiết lập rõ ràng.

Trong một chứng minh, tất cả các tuyên bố phải đúng, mỗi khẳng định phải là hệ quả tất yếu từ những gì đã nêu trước đó.

Trong một giải thích có động cơ, việc bắt đầu với một ý tưởng chưa hoàn toàn đúng và cần sửa chữa, nhưng có nguồn gốc dễ liên hệ, là điều ổn và thường được mong đợi.

Một thể loại giải thích có động cơ mà tôi yêu thích là “hư cấu khám phá” (discovery fiction), một thuật ngữ do Michael Nielsen đặt ra. Bạn phát triển một ý tưởng với một câu chuyện bắt đầu bằng một giải pháp đơn giản-nhưng-sai cho một vấn đề, xem nó đổ vỡ ở đâu, sửa vấn đề đó, khám phá một vấn đề mới, và cứ thế tiếp tục.

Phạm vi của một chứng minh là giải thích tại sao một định lý cụ thể lại đúng.

Phạm vi của một giải thích có động cơ không chỉ là làm rõ tại sao một định lý đúng, mà còn là tại sao định lý đó lại là định lý đúng đắn cần đặt ra ngay từ đầu, và nó được sử dụng như thế nào trong bối cảnh xung quanh.

Một thiếu sót rõ ràng của giải thích có động cơ là tính hợp lệ của nó không mang tính nhị phân như chứng minh. Đây là lý do lớn khiến chứng minh là một cách hữu ích để đo lường sự tiến bộ: Bạn có thể xác định rõ ràng cái gì đã có chứng minh và cái gì chưa. Sẽ không bao giờ có Lean cho các giải thích có động cơ.

Nếu chúng ta nghiêm túc với mục tiêu thúc đẩy sự hiểu biết của con người, không có cách nào tránh khỏi thực tế rằng mục tiêu này vốn dĩ mơ hồ hơn so với việc tìm kiếm các chứng minh, bởi vì định nghĩa về sự hiểu biết của con người vốn dĩ đã mơ hồ hơn. Né tránh các thước đo mang tính chủ quan hơn chính là né tránh các khía cạnh nhân văn hơn của lĩnh vực này.

Lý do tôi nghiêng về từ “có động cơ” (motivated), thay vì các lựa chọn tiềm năng khác như “sáng tỏ” (lucid) hay “giải mã” (demystifying), là vì đây là một đặc tính có thể kiểm chứng hơn. Nó không hoàn toàn cứng nhắc như một chứng minh; gần như không có gì là như vậy cả. Nhưng nó đủ để trở thành một thước đo thực tế. Trong công việc của mình, tôi thường lặp lại cụm từ “Tôi muốn điều này tạo cảm giác như thể bạn có thể tự mình khám phá ra nó”. Tôi nói điều này không chỉ để làm hài lòng người xem, mà vì đó là một hướng dẫn hành động để tôi tự đánh giá xem một lời giải thích có cảm giác đầy đủ hay không. Với mỗi ý tưởng mới được giới thiệu, bạn có thể tự hỏi liệu nguồn gốc của ý tưởng đó có rõ ràng hay không. Câu trả lời không hoàn toàn là có hoặc không mang tính nhị phân, nhưng nó đủ gần cho các mục đích thực tế.

Các ví dụ điển hình về giải thích có động cơ

Một trong những kho lưu trữ tốt nhất mà tôi có thể nghĩ đến cho các giải thích có động cơ là Phần IV của cuốn Princeton Companion to Mathematics. Nó bao gồm hơn hai chục lĩnh vực nghiên cứu đang hoạt động, mỗi lĩnh vực được giới thiệu bởi một chuyên gia có tài năng trong việc truyền đạt rõ ràng.

Cho dù đó là Andrew Granville giải thích về lý thuyết số giải tích, hay David Ben-Zvi giới thiệu về không gian moduli, những bài viết này cung cấp một mức độ trực giác và động cơ thường chỉ thấy trong các cuộc trò chuyện trực tiếp bên bảng đen.

Bối cảnh về cuốn sách này rất đáng chú ý cho cuộc thảo luận hiện tại. Nó được biên tập bởi Timothy Gowers, người đã thảo luận về nó trong cuộc phỏng vấn trên Numberphile Podcast với Brady Haran. Khi được hỏi Huy chương Fields đã tác động thế nào đến cuộc đời ông, đây là những gì ông đã nói:

Những người có Huy chương Fields cảm thấy tự do hơn để làm những việc hơi khác biệt… ví dụ, tôi đã đảm nhận việc biên tập một cuốn sách có tên là Princeton Companion to Mathematics, đó là một nhiệm vụ cực kỳ lớn. Tôi ước tính nó chiếm một nửa thời gian làm việc của tôi trong khoảng năm năm hoặc đại loại như vậy… Đó là một dự án mà tôi tin tưởng và có lẽ tôi sẽ không được trao cơ hội để thực hiện nếu tôi không phải là một người đoạt Huy chương Fields.

Ông ấy đã đúng khi tin vào nó; công trình này mang lại giá trị to lớn cho lĩnh vực toán học, nhưng tôi thấy thật đáng tiếc khi một người cần phải có Huy chương Fields mới cảm thấy chính đáng khi dành thời gian cho nó.

Một ví dụ khác về một người đặc biệt tài năng trong việc viết các chứng minh, nhưng có những đóng góp vượt xa khỏi chứng minh, là Bill Thurston. Bài tiểu luận nổi tiếng xứng đáng của ông, On Proof and Progress in Mathematics, mặc dù được viết ba thập kỷ trước khi có các LLM, đã mở đầu bằng cách gợi ý rằng cách đặt vấn đề đúng đắn cho câu hỏi “Các nhà toán học đạt được điều gì?” là hỏi “Làm thế nào các nhà toán học thúc đẩy sự hiểu biết của con người về toán học?”

Đây là một phần có sự cộng hưởng kỳ lạ với ngày nay:

Sự tiến bộ nhanh chóng của máy tính đã giúp làm nổi bật điểm này, bởi vì máy tính và con người rất khác nhau. Ví dụ, khi Appel và Haken hoàn thành chứng minh định lý bản đồ 4 màu bằng cách sử dụng tính toán tự động quy mô lớn, nó đã gây ra nhiều tranh cãi. Tôi hiểu sự tranh cãi đó hầu như không liên quan đến sự nghi ngờ của mọi người về tính xác thực của định lý hay tính đúng đắn của chứng minh. Thay vào đó, nó phản ánh một mong muốn liên tục về sự hiểu biết của con người đối với một chứng minh, bên cạnh việc biết rằng định lý đó là đúng.

Ở mức độ thường ngày hơn, việc những người mới bắt đầu làm quen với máy tính thực hiện các tính toán quy mô lớn cho những thứ họ có thể đã làm thủ công ở quy mô nhỏ hơn là điều phổ biến. Họ có thể in ra một bảng gồm 10.000 số nguyên tố đầu tiên, chỉ để nhận ra rằng bản in đó không phải là thứ họ thực sự muốn. Họ khám phá ra qua trải nghiệm kiểu này rằng thứ họ thực sự muốn thường không phải là một tập hợp các “câu trả lời” — thứ họ muốn là sự hiểu biết.

Bản thân bài tiểu luận đưa ra một cách diễn đạt tuyệt vời về việc thực hành toán học là gì ngoài việc tạo ra các chứng minh. Tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn vào những gì ông ấy viết ở cuối.

Tôi đã dành rất nhiều nỗ lực cho các hoạt động không tạo ra tín chỉ mà tôi coi trọng giống như tôi coi trọng việc chứng minh các định lý: chính trị toán học, sửa đổi các ghi chú của tôi thành một cuốn sách với tiêu chuẩn truyền đạt cao, khám phá máy tính trong toán học, giáo dục toán học, phát triển các hình thức mới để truyền đạt toán học thông qua Geometry Center (chẳng hạn như thử nghiệm đầu tiên của chúng tôi, video “Not Knot”), điều hành MSRI, v.v.

Một lần nữa, tại sao những “hoạt động không tạo ra tín chỉ” này lại nên theo sau Huy chương Fields, chứ không phải góp phần vào đó?

Về mặt cá nhân, một sản phẩm từ Geometry Center mà ông ấy đề cập đã có tác động đặc biệt ý nghĩa đối với tôi khi tôi còn trẻ. Đó là một bộ phim ngắn có tên Outside In, có lẽ là ví dụ sớm nhất về một video lan truyền (viral video) về toán học thực chất, trực quan hóa ý tưởng chính trong cấu trúc của chính Thurston về việc lộn ngược mặt cầu (sphere eversion).

Một chứng minh gốc cho thấy một sự lộn ngược phải tồn tại, ví dụ như của Smale, thúc đẩy sự hiểu biết của con người theo nghĩa đi từ 0 đến 1. Một video như thế này giúp hàng triệu người tham gia vào ý tưởng cơ bản, thúc đẩy nó theo nghĩa đi từ 1 đến N. Tôi rất biết ơn vì Thurston đã dành quá nhiều thời gian cho hoạt động “không tạo ra tín chỉ” này.

Một bài báo liên quan khác là A beginner’s guide to forcing của Timothy Chow. Không chỉ bản thân bài báo là một ví dụ điển hình về giải thích có động cơ, mà phần giới thiệu của nó còn cung cấp từ vựng hữu ích xung quanh khái niệm này.

Tất cả các nhà toán học đều quen thuộc với khái niệm bài toán nghiên cứu mở. Tôi đề xuất khái niệm ít quen thuộc hơn là bài toán diễn giải mở (open exposition problem). Giải quyết một bài toán diễn giải mở có nghĩa là giải thích một chủ đề toán học theo cách làm cho nó hoàn toàn sáng tỏ. Mỗi bước nên được thúc đẩy và rõ ràng; lý tưởng nhất là sinh viên nên cảm thấy rằng họ có thể tự mình đạt được các kết quả đó.

Sẽ như thế nào nếu những bài toán diễn giải mở này được đối xử tương tự như các bài toán nghiên cứu mở? Trong một trường hợp cực đoan, chúng ta có thể tưởng tượng việc có một phiên bản tương tự như các Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ (Millennium Prize Problems) dành cho các bài toán diễn giải mở. Một tổ chức hoặc nhóm các nhà nghiên cứu sẽ định nghĩa chính thức các kết quả toán học mà họ cho là quan trọng, và chưa được hiểu rõ mặc dù về mặt kỹ thuật đã có chứng minh. Hiện tại, mọi chứng minh do AI tạo ra đều sinh ra như một bài toán diễn giải chưa được giải quyết. Do đó, có vẻ như vài năm tới sẽ chứng kiến một làn sóng các bài toán này, và sẽ rất có giá trị nếu các nhà lãnh đạo làm rõ những bài toán nào xứng đáng được tập trung.

Cần phải thống nhất một bộ tiêu chí về những gì cấu thành một giải pháp cho một bài toán diễn giải quan trọng chưa được giải quyết. Một lần nữa, điều này vốn dĩ mang tính chủ quan hơn so với việc xác minh một chứng minh, nhưng bất kỳ sự tham gia nghiêm túc nào vào các khía cạnh nhân văn hơn của toán học đều nhất thiết phải dấn thân vào loại chủ quan này. Và một lần nữa, tôi nhấn mạnh rằng việc kiểm tra xem các ý tưởng chính có được thúc đẩy hay không cũng không khác mấy so với việc kiểm tra xem các bước của một chứng minh có tuân theo logic hay không.